I Settimana (20-24 Settembre)
Introduzione storica al corso. Modalità di valutazione. Organizzazione del corso.
Brevi cenni di introduzione ad una teoria "ingenua" degli insiemi.
Principali simboli logici, proposizioni, tabelle di verità. Negazione di proposizioni del tipo P∧Q, P∨Q (e, quindi, anche P ⇒ Q), e negazione di proposizioni contenenti i simboli quantificatori esistenziale ∃ oppure universale ∀. Equivalenze logiche, tautologie, dimostrazione per assurdo. Esempi.
- Appunti integrativi
Avvertenza: Nel sito sopra segnalato sulle tabelle di verità, prima bisogna compilare le colonne laterali (con il valore di verità relativo alla parte sovrastante della proposizione) e, successivamente, la colonna centrale con il valore di verità della proposizione complessiva
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II Settimana (27 Settembre-30 Settembre)
Variazione dello schema di dimostrazione per assurdo, con l'uso di proposizioni accessorie. Esempi.
Assiomi di Peano. Insieme dei numeri naturali N. Costruzione insiemistica di un modello di insieme di numeri naturali. Altri insiemi ("equivalenti" ad N) che verificano gli assiomi di Peano, in particolare, il caso dei numeri naturali positivi N+. Operazioni di somma e di prodotto e relazione di ordine in N, introdotte con l'uso esclusivo degli assiomi di Peano.
Insieme dei numeri interi relativi Z. Operazioni di somma e di prodotto e relazione di ordine in Z. Principali proprietà soddisfatte da (Z, +, •).
Principio di induzione e la dimostrazione per induzione. Concetti di "base dell'induzione", "ipotesi induttiva" e "passo induttivo". Esempi ed esercizi. Numeri di Fibonacci.
- Appunti integrativi 1. Principio di Induzione
"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk"
["Dio creò i numeri interi, tutto il resto è opera dell'uomo"]
Leopold Kronecker (1831-1916)
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IV Settimana (10-14 Ottobre)
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III Settimana (3-7 Ottobre)
Principio di Induzione (denotato con (I)), Principio di Induzione "ampia" (denotato con (I_A)) e Principio del Buon Ordinamento (denotato con (BO)). Dimostrazione che (I) implica (I_A). Cenni sul fatto che
Principio di Induzione (denotato con (I)), Principio di Induzione "ampia" (denotato con (I_A)) e Principio del Buon Ordinamento (denotato con (BO)). Dimostrazione che (I) implica (I_A). Cenni sul fatto che
(I_A) implica (BO) implica (I) e, quindi, che tutti i principi sopra considerati sono tra loro equivalenti.
Uso del Principio di Induzione "ampia" nel caso dei numeri di Fibonacci. Uso del Principio (BO) per dimostrare che in Z può essere realizzata una divisione con il resto, detta anche divisione euclidea.
Relazione di divisibilità in Z e prime proprietà.
MCD in Z: esistenza ed unicità e prime proprietà. Identità di Bézout.
MCD in Z: esistenza ed unicità e prime proprietà. Identità di Bézout.
- Appunti integrativi - 2. Divisione con il resto negli interi
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IV Settimana (10-14 Ottobre)
mcm in Z: esistenza ed unicità e prime proprietà.
MCD(a, b) mcm(a, b) = |ab|. Revisione del principio di calcolo del MCD con l'algoritmo euclideo delle divisioni successivi.
Dato un intero b > 1 possibilità degli interi di essere scritti in base b. Unicità della scrittura in base b. Cenni sulla scrittura dei numeri razionali in base b. Esempi nel caso in cui b = 2, 5, 10, 12.
Numeri primi e numeri irriducibili: nozioni equivalenti in Z. Teorema Fondamentale dell'Aritmetica. Crivello di Eratostene. Infinità dei numeri primi.
Coppie ordinate. Prodotto cartesiano di insiemi. Corrispondenze e relazioni. Relazioni riflessive, simmetriche, transitive, antisimmetriche, totali. Esempi.
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V Settimana (17-21 Ottobre)
Coppie ordinate. Prodotto cartesiano di insiemi. Corrispondenze e relazioni. Relazioni riflessive, simmetriche, transitive, antisimmetriche, totali. Esempi.
Forma polare di numero complesso e formula di de Moivre. Proprietà del coniugio tra numeri complessi. Norma ed inverso (moltiplicativo) di un numero complesso non nullo.
Il giorno 20/10 non si è potuta tenere la lezione a causa dell'impossibilità del docente di raggiungere il dipartimento di matematica.
V Settimana (17-21 Ottobre)
Coppie ordinate. Prodotto cartesiano di insiemi. Corrispondenze e relazioni. Relazioni riflessive, simmetriche, transitive, antisimmetriche, totali. Esempi.
Introduzione alla costruzione dell'insieme C dei numeri complessi, a partire dall'insieme R dei numeri reali. Prodotto di numeri complessi, coniugato e norma di un numero complesso. Forma polare di numero complesso. Inverso (moltiplicativo) di un numero complesso non nullo.
Il giorno 20/10 non si è potuta tenere la lezione a causa dell'impossibilità del docente di raggiungere il dipartimento di matematica.
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Prime proprietà delle immagini e controimmagini di sottoinsiemi del dominio o codominio di una data applicazione. Vari esempi e controesempi.
Applicazioni tra insiemi finiti ed insiemi di applicazioni. Funzione caratteristica di un sottoinsieme di un dato insieme. Corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle parti di un insieme X e l'insieme delle applicazioni da X a {0, 1}. Esempi.
Prodotto operatorio tra applicazioni e sue prime proprietà. Applicazioni suriettive, iniettive e biiettive. Caratterizzazione delle applicazioni suriettive, iniettive e biiettive tramite l'esistenza di opportune applicazioni inverse. Osservazioni sull'esistenza di applicazioni aventi dominio o/e codominio guali all'insieme vuoto.
VI Settimana (24-28 Ottobre)
Forma polare di numero complesso e formula di de Moivre. Proprietà del coniugio tra numeri complessi. Norma ed inverso (moltiplicativo) di un numero complesso non nullo.
Corrispondenza inversa e prodotto (o composizione) di corrispondenze. Esempi.
Relazioni di equivalenza. Esempi. Classi di equivalenza. Ricoprimenti e partizioni. Equivalenza logica tra la nozione di relazione di equivalenza e quella di partizione.
Esempi di relazioni di equivalenza ed insieme quoziente (rispetto ad una relazione di equivalenza).
Costruzione rigorosa (utilizzando relazioni di equivalenza opportune) degli insiemi numerici
Z := (N x N)/≈ e Q := (Z x Z*)/~
La congruenza modulo n, ≡ , è una relazione di equivalenza in Z. Classi dei resti della divisione per n. L'insieme quoziente Z/≡n .
Costruzione rigorosa (utilizzando relazioni di equivalenza opportune) degli insiemi numerici
Z := (N x N)/≈ e Q := (Z x Z*)/~
La congruenza modulo n, ≡ , è una relazione di equivalenza in Z. Classi dei resti della divisione per n. L'insieme quoziente Z/≡n .
VII Settimana (7-11 Novembre)
Prime proprietà della congruenza mod n. Compatibilità delal congruenza mod n rispetto alla somma ed al prodotto. Criteri di divisibilità per 2, 3, 4, 5, 9, 11.
La "prova del nove"; esempi e controesempi.
Somma e prodotto nell'insieme quoziente Z/≡n . Proprietà di (Z/≡n , +, .) (e confronto con le proprietà di (Z , +, .) e (Q , +, .)). Elementi invertibili mod n. Algoritmo del calcolo di un inverso aritmetico mod n di un intero a tale che MCD(a, n) =1. Esistenza ed unicità mod n di un inverso aritmetico. Cenni sulla funzione 
di Eulero
di EuleroRisoluzione delle congruenze lineari aX ≡ b (mod n). Esempi. "Piccolo" Teorema di Fermat. Teorema di Euler-Fermat (cenni). Conseguenze del"Piccolo" Teorema di Fermat:
(a + b)p ≡p ap + bp . Applicazioni al calcolo dell'inverso aritmetico. Teorema cinese dei resti. Esempi. Corrispondenze ed applicazioni. Caratterizzazione delle applicazioni tramite proprietà del loro grafico.
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VIII Settimana (14-18 Novembre)
Composizione di corrispondenze ed applicazioni. Corrispondenza inversa. Caratterizzazione di quando la corrispondenza inversa è un'applicazione.Prime proprietà delle immagini e controimmagini di sottoinsiemi del dominio o codominio di una data applicazione. Vari esempi e controesempi.
Applicazioni tra insiemi finiti ed insiemi di applicazioni. Funzione caratteristica di un sottoinsieme di un dato insieme. Corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle parti di un insieme X e l'insieme delle applicazioni da X a {0, 1}. Esempi.
Prodotto operatorio tra applicazioni e sue prime proprietà. Applicazioni suriettive, iniettive e biiettive. Caratterizzazione delle applicazioni suriettive, iniettive e biiettive tramite l'esistenza di opportune applicazioni inverse. Osservazioni sull'esistenza di applicazioni aventi dominio o/e codominio guali all'insieme vuoto.
Immagine e controimmagine tramite un'applicazione di unioni, intersezioni e differenze di sottoinsiemi.
Relazione di equivalenza associata ad un'applicazione (relazione "nucleo"). Teorema fondamentale delle applicazioni: ogni applicazione può essere fattorizzata nel prodotto operatorio di un'applicazione suriettiva, una biiettive ed una iniettiva. Esempi.
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IX Settimana (21 Novembre - 25 Novembre)
Introduzione ai polinomi ed alle serie formali in una indeterminata a coefficienti in A, dove A può variare tra i seguenti insiemi numerici Z, Q, R, C.
Prodotto di convoluzione. Coefficiente direttore, grado di un polinomio. Polinomi a coefficienti in A che sono invertibili e polinomi che sono irriducibili. Divisione con il resto tra polinomi: esistenza ed unicità del quoziente e resto.
Cenni sulla teoria della divisibilità tra polinomi, MCD e mcm tra polinomi a coefficienti in A, dove A può variare tra i seguenti insiemi numerici Z, Q, R, C. Cenni sul calcolo del MCD e di una identità di Bézout tramite l'algoritmo euclideo delle divisioni successive.
Contenuto di un polinomio a coefficienti in Z. Polinomi primitivi. Lemma di Gauss sul prodotto di polinomi primitivi. Formula del contenuto del prodotto di polinomi a coefficienti interi. I polinomi primitivi a coefficienti in sono irriducibili in Z[T] se e soltanto se lo sono in Q[T].
Cenni sul Teorema Fondamentale dell'Algebra: ogni polinomio non costante in C[T] ha un numero di radici (contate ciascuna con la relativa molteplicità) uguale al suo grado su C. In altre parole, i polinomi irriducibili in C[T] sono soltanto i polinomi lineari.
Contenuto di un polinomio a coefficienti in Z. Polinomi primitivi. Lemma di Gauss sul prodotto di polinomi primitivi. Formula del contenuto del prodotto di polinomi a coefficienti interi. I polinomi primitivi a coefficienti in sono irriducibili in Z[T] se e soltanto se lo sono in Q[T].
Cenni sul Teorema Fondamentale dell'Algebra: ogni polinomio non costante in C[T] ha un numero di radici (contate ciascuna con la relativa molteplicità) uguale al suo grado su C. In altre parole, i polinomi irriducibili in C[T] sono soltanto i polinomi lineari.
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X Settimana (28 Novembre - 2 Dicembre)
Definizione di operazione binaria, di gruppo e di gruppo abeliano. Esempi.
Matrici ad entrate in insiemi numerici. Somma di matrici. Matrici quadrate (2x2) ed operazione di prodotto righe per colonne. Determinante di una matrice 2x2 ad entrate in insiemi numerici. Matrici 2x2 invertibili. Gruppo delle matrici invertibili 2X2 ad entrate in Q, R, C, o Z/ ≡p. Sottogruppo di un gruppo. Esempi e controesempi. Omomorfismi tra gruppi. esempi.
Matrici ad entrate in insiemi numerici. Somma di matrici. Matrici quadrate (2x2) ed operazione di prodotto righe per colonne. Determinante di una matrice 2x2 ad entrate in insiemi numerici. Matrici 2x2 invertibili. Gruppo delle matrici invertibili 2X2 ad entrate in Q, R, C, o Z/ ≡p. Sottogruppo di un gruppo. Esempi e controesempi. Omomorfismi tra gruppi. esempi.
Prime proprietà degli omomorfismi tra gruppi. Esempi. Sottogruppi. Esempi.
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XI Settimana (5 Dicembre - 9 Dicembre)
Sottogruppi e relazioni di equivalenza compatibili con l'operazione di gruppo. Sottogruppi normali. Il nucleo di un omomorfismo. Gruppo-quoziente rispetto ad un sottogruppo normale. Il teorema fondamentale di omomorfismo tra gruppi. Esempi.
Sottogruppi e relazioni di equivalenza compatibili con l'operazione di gruppo. Sottogruppi normali. Il nucleo di un omomorfismo. Gruppo-quoziente rispetto ad un sottogruppo normale. Il teorema fondamentale di omomorfismo tra gruppi. Esempi.
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XII Settimana (12 Dicembre - 16 Dicembre)
Anelli, domini e campi. Esempi e controesempi. Sottoanelli. Esempi e controesempi.Prime proprietà degli omomorfismi tra anelli. Esempi di omomorfismi tra anelli. Ideali e relazioni di equivalenza sugli anelli che "rispettano" la somma ed il prodotto. Esempi di ideali. Il nucleo di un omomorfismo. Anelli-quoziente. Esempi. Teorema fondamentale di omomorfismo per anelli. Esempi.
Appunti integrativi 4. Breve introduzione alla teoria degli anelli, I
